Matriz A
Tamaño actual: 3 × 3
Herramienta de costo de multiplicación
Calculadora de Operaciones y Complejidad de la Multiplicación de Matrices
Calcula cuántas multiplicaciones y sumas escalares se necesitan para multiplicar dos matrices con el método estándar Fila × Columna. Introduce las dimensiones para ver el tamaño del resultado, el número de operaciones y cómo se obtiene.
Contador de operaciones de multiplicación de matrices
Matriz B
Tamaño actual: 3 × 3
Matriz resultado
3 × 3
Celdas del resultado
9
Por celda del resultado
3 multiplicaciones
2 sumas
Multiplicaciones totales
27
Sumas totales
18
Operaciones escalares totales
45
Multiplicaciones + sumas
Cálculo usado para el recuento
- Multiplicaciones:
9 celdas del resultado × 3 multiplicaciones por celda = 27 - Sumas:
9 celdas del resultado × 2 sumas por celda = 18 - Operaciones escalares totales:
27 multiplicaciones + 18 sumas = 45 operaciones escalares en total
Desglose Detallado de Operaciones
Mira exactamente cómo se obtiene el número de operaciones a partir de los cálculos Fila × Columna de la matriz resultado.
A × B
A × B no se puede multiplicar porque las dimensiones internas no coinciden.
Columnas de A3
Filas de B4
Estos valores deben ser iguales.
¿Por Qué una Multiplicación de Matrices 3×3 Requiere 27 Multiplicaciones y 18 Sumas?
El caso 3×3 es un ejemplo muy común. Aquí se muestra el mismo razonamiento aplicado específicamente a matrices 3×3.
Una matriz resultado 3×3 contiene 9 celdas. Cada celda es el producto punto de una fila y una columna, así que cada celda contiene 3 multiplicaciones escalares y 2 sumas.
9 celdas × 3 multiplicaciones = 27 multiplicaciones
9 celdas × 2 sumas = 18 sumas
Total: 45 operaciones aritméticas escalares
Mostrar los 9 cálculos Fila × Columna Ocultar los 9 cálculos Fila × Columna
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33
9 celdas × 3 multiplicaciones = 27 multiplicaciones
9 celdas × 2 sumas = 18 sumas
Fórmula del Número de Operaciones en la Multiplicación de Matrices
No necesitas memorizar estas fórmulas: la calculadora las aplica automáticamente.
Para una matriz m × n multiplicada por una matriz n × p, el resultado tiene tamaño m × p y contiene mp celdas.
- Multiplicaciones escalares:
mnp - Sumas escalares:
mp(n - 1) - Operaciones escalares totales:
mp(2n - 1) - Caso cuadrado N × N: multiplicaciones
N3, sumasN2(N - 1), total2N3 - N2
Recuentos Comunes de Operaciones en la Multiplicación de Matrices
| Producto de matrices | Tamaño del resultado | Multiplicaciones | Sumas | Operaciones totales |
|---|---|---|---|---|
| 2×2 × 2×2 | 2×2, 4 celdas | 8 | 4 | 12 |
| 3×3 × 3×3 | 3×3, 9 celdas | 27 | 18 | 45 |
| 4×4 × 4×4 | 4×4, 16 celdas | 64 | 48 | 112 |
| 3×3 × 3×1 | 3×1, 3 celdas | 9 | 6 | 15 |
| 2×3 × 3×4 | 2×4, 8 celdas | 24 | 16 | 40 |
¿Cuál Es la Complejidad de la Multiplicación Estándar de Matrices?
Para matrices cuadradas N × N, el algoritmo estándar Fila × Columna usa N3 multiplicaciones escalares y N2(N - 1) sumas escalares. Por eso su complejidad aritmética crece como O(N3).
La calculadora de arriba da el recuento exacto para un tamaño concreto. La notación Big-O describe cómo crece ese recuento cuando aumenta el tamaño de la matriz.
Avanzado
Método Estándar vs. Algoritmos Más Rápidos de Multiplicación de Matrices
Reducir multiplicaciones escalares no significa automáticamente que un método sea más rápido para matrices pequeñas o en hardware moderno. También importan las sumas, el acceso a memoria, la sobrecarga de implementación, la vectorización, la caché y la arquitectura del hardware.
| Tamaño | Método estándar | Nota sobre algoritmos rápidos |
|---|---|---|
| 2×2 | 8 multiplicaciones, 4 sumas | Strassen usa 7 multiplicaciones y más sumas/restas; una formulación común usa 18 sumas/restas. |
| 3×3 | 27 multiplicaciones, 18 sumas | Los algoritmos tipo Laderman usan 23 multiplicaciones, pero requieren muchas más sumas/restas. |
| 4×4 | 64 multiplicaciones, 48 sumas | Strassen recursivo usa 49 multiplicaciones escalares con sumas/restas adicionales y sobrecarga. |
Para matrices pequeñas, el método estándar Fila × Columna suele preferirse porque es simple, predecible y fácil de optimizar. Los algoritmos rápidos son más importantes en análisis de algoritmos y cómputo a gran escala. La multiplicación cuadrada estándar es O(N3); Strassen es aproximadamente O(N2.807).
Sobre los FLOPs
Esta calculadora informa operaciones aritméticas escalares: multiplicaciones más sumas. Cuando las entradas de la matriz son valores de punto flotante, recuentos parecidos suelen discutirse como operaciones de punto flotante (FLOPs). Las convenciones de hardware y FMA pueden hacer que la medición práctica del rendimiento sea distinta de este recuento aritmético simple.