Calculadora de matrices

¿Qué es la forma canónica de Jordan?

The Jordan Canonical Form (JCF), also called the Jordan Normal Form, is a special block-diagonal matrix similar to a given matrix. It expresses a matrix in terms of its eigenvalues and generalized eigenvectors. When a matrix cannot be fully diagonalized, its Jordan form contains Jordan blocks.

Definición de un bloque de Jordan

A Jordan block of size n × n associated with eigenvalue λ is:

$$ J(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & 0 \\ & \lambda & 1 & \\ & & \ddots & 1\\ 0 & & & \lambda \end{pmatrix} $$

The full Jordan form of a matrix \(A\) is defined as:

$$ J = P^{-1}AP $$

where \(P\) is formed from eigenvectors and generalized eigenvectors.

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Pasos para calcular la forma de Jordan

1. Halla los autovalores y sus multiplicidades algebraicas.
2. Determina las multiplicidades geométricas (número de autovectores independientes).
3. Determina el número y los tamaños de los bloques de Jordan.
4. Calcula autovectores generalizados si la matriz no es diagonalizable.
5. Build matrix \(P\) and compute \(J = P^{-1}AP\).

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Ejemplo 1: una matriz diagonalizable

Dado:

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Eigenvalues are 2 and 3. Each has algebraic multiplicity = geometric multiplicity = 1. Thus, the Jordan form is simply:

$$ J= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

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Ejemplo 2: una matriz no diagonalizable

Dado:

$$ A= \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$

Eigenvalue λ = 4 with algebraic multiplicity 2, but only one eigenvector exists (geometric multiplicity 1). Thus, the matrix is not diagonalizable. Its Jordan form is:

$$ J= \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$

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Common Mistakes to Avoid

Suposición incorrecta	Comprensión correcta
Los autovalores repetidos siempre significan múltiples bloques.	Número de bloques = multiplicidad geométrica.
El tamaño del bloque es igual a la multiplicidad geométrica.	El tamaño del bloque depende de la multiplicidad algebraica y de la estructura.
Solo hallar autovectores estándar.	Must find generalized eigenvectors if not diagonalizable.
Todas las matrices son diagonalizables.	Only when algebraic = geometric multiplicity for each eigenvalue.

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Ejercicios de práctica: calcula la forma de Jordan

Los ejercicios siguientes requieren calcular la forma canónica de Jordan de cada matriz. Haz clic en "Mostrar respuesta" para ver la solución.

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La forma de Jordan se entiende mejor después de explorar la multiplicación de matrices, la matriz inversa y el rango de una matriz.